корень, конечно, един: оба слова проделали путь через греческий от древнееврейского "песах", что буквально означает "пройти мимо". имеется в виду последняя из египетских казней, когда ангел, умерщвлявший первенцев, проходил мимо иудейских домов, помазанных кровью закланного агнца.
поскольку казнь была последняя и за ней непосредственно последовал исход из земли египетской, два события связались воедино и ежегодно праздновались 14 нисана с принесением в жертву первородного агнца (правда, после разрушения иерусалимского храма жертвоприношения прекратились, и праздничная пища ограничилась опресноками). таким образом, сама жертва - агнец - оказалась этимологически связана с праздником и стала зваться "пасхой".
христианство позаимствовало праздник, но наполнило его другим смыслом, взяв за основу понимание "пасхи" как спасительной жертвы. то есть теперь агнцем выступает христос, а "пасха" - это страдания, которые он претерпел для искупления грехов человечества. интересно, что желание христиан отмежеваться от иудеев было так сильно, что они придумывали слову свою этимологию, связывая его то с ассирийским "пасаху" (умиротворить), то с египетским "па-ш" (воспоминание) и "песах" (удар), то с греческим "избавлением", которое в пасхальном контексте обозначало избавление от дьявола.
слово же easter ведет начало от шумерской богини иштар, или астарты: бог солнца и плодородия таммуз гибнет и оказывается в преисподней (что знаменует собой приход зимы), а его безутешная возлюбленная иштар отправляется на поиски, которые занимают у нее ровно 40 дней. таммуза она вызволяет, и тот воскресает к всеобщей радости.
при чем тут, казалось бы, христианская пасха
дело в том, что во время первого вселенского собора император константин великий решил покончить с разночтениями и согласовать день празднования пасхи между общинами, которые всё никак не могли между собой договориться. но поскольку язычники все ещё были многочисленны и их трудно было игнорировать, он сделал ход конем и для всеобщего примирения решил два праздника совместить.
а шумерское название выбрал исключительно в пику иудеям.